兩種方法巧解不定方程-2023國家公務(wù)員考試行測(cè)解題技巧
行測(cè)考試中，數(shù)量關(guān)系是一個(gè)非常重要的考查部分。從題目的難易程度上看，不定方程難度不大。但在解方程的時(shí)候還是需要一定的技巧的。
【不定方程的含義 】
當(dāng)方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)，這樣的方程即為不定方程。
例如：5x+4y=19，存在兩個(gè)未知數(shù)x和y，只有一個(gè)方程，即為不定方程。在沒有其他限定條件下，該方程有無數(shù)組解。但若設(shè)定x和y均為正整數(shù)，方程是有確定的解的。雖然解確定，但依然不能像普通方程那樣解出來。那該如何解決這類問題呢？
【解不定方程 】
一、核心：代入排除
行測(cè)考試題目都是客觀選擇題，答案就在4個(gè)選項(xiàng)之中，所以遇到解不定方程可以采用代入排除的方法。
【例1】某單位向希望工程捐款，其中部門領(lǐng)導(dǎo)每人捐50元，普通員工生每人捐20元，某部門所有人員共捐款320元，已知該部門總?cè)藬?shù)超過10人，問該部門可能有幾名部門領(lǐng)導(dǎo)？
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
【解析】共捐款320元，包括領(lǐng)導(dǎo)的捐款數(shù)和員工的捐款數(shù)，設(shè)領(lǐng)導(dǎo)有x人，員工有y人，則：50x+20y=320，化簡得5x+2y=32，另外x+y>10，這是一個(gè)典型的不定方程，可以采用代入排除法。代入A選項(xiàng)，x=1，則y=13.5，員工人數(shù)應(yīng)為正整數(shù)，顯然13.5不符合實(shí)際情況，A排除。代入B選項(xiàng)，x=2，則y=11，符合實(shí)際情況，且滿足x+y>10，B選項(xiàng)滿足了題干中的所有條件，則本題選擇B選項(xiàng)。當(dāng)然，大家在課下做題時(shí)也可以將C、D選項(xiàng)代入進(jìn)行驗(yàn)證。
二、排除方法
1.整除特性：當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間存在公約數(shù)時(shí)，可以利用整除特性進(jìn)行排除。
【例2】設(shè)a，b均為正整數(shù)，且有等式11a+7b=132成立，則b的值為（ ）。
A.9
B.13
C.11
D.15
答案：C
【解析】a、b為未知數(shù)，則已知的數(shù)據(jù)就只有系數(shù)11、7和常數(shù)項(xiàng)132了。觀察發(fā)現(xiàn)，11和132有共同的約數(shù)11，那么11a和132均為11的整數(shù)倍，7b也為11的整數(shù)倍，很顯然7不是11的倍數(shù)，則b為11的倍數(shù)，選項(xiàng)中只有C滿足要求，選擇C選項(xiàng)。
2.尾數(shù)法：當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)為5或5的倍數(shù)時(shí)，可以借助尾數(shù)法進(jìn)行排除。
【例3】超市將99個(gè)蘋果裝進(jìn)兩種包裝盒，大包裝盒每個(gè)裝12個(gè)蘋果，小包裝盒每個(gè)裝5個(gè)蘋果，共用了10多個(gè)盒子剛好裝完，問兩種包裝盒相差多少個(gè)?
A.3
B.4
C.7
D.13
答案：D
【解析】設(shè)大小包裝盒的個(gè)數(shù)分別為x和y，由題意可知12x+5y=99，且10<x+y<20。觀察，5y的尾數(shù)為0或5，99的尾數(shù)為9，由此可得12x的尾數(shù)為9或4，而12x的尾數(shù)不能為9，故12x尾數(shù)為4，x可能等于2、7、12、17…當(dāng)x=2時(shí)，y=15，2+15屬于10多個(gè)的范圍，則該組解滿足題干中所有條件，15和2之間差13，選擇D選項(xiàng)。
3.奇偶性：當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)一奇一偶時(shí)，可以結(jié)合奇偶性進(jìn)行排除。
【例4】共有20個(gè)玩具交給小王手工制作完成。規(guī)定制作的玩具每合格一個(gè)得5元，不合格一個(gè)扣2元，未完成的不得也不扣，最后小王共收到56元，那么他制作的玩具中，合格的共有( )個(gè)。
A.13
B.12
C.15
D.14
答案：B
【解析】設(shè)合格的玩具有x個(gè)，不合格的有y個(gè)，未完成的有z個(gè)，則：x+y+z=20，5x-2y=56，所求為x。其中第二個(gè)式子5x-2y=56只涉及了x和y兩個(gè)未知數(shù)，更易于分析。觀察：未知數(shù)的系數(shù)分別為5和2，一奇一偶。其中2y和56一定為偶數(shù)，則5x一定為偶數(shù)，即x為偶數(shù)，排除A、C選項(xiàng)。代入B，x=12，y=2，z=6，滿足題目中的所有條件，本題選B。
