不定方程的解題思路-2022國家公務員考試行測解題技巧

　　不定方程(組)是指未知數個數多于方程個數，不能通過一般的消元法直接得到唯一解，常與差倍比問題、利潤問題等熱門考點相結合，故需要考生們在備考的過程中加以重視。今天與大家一起探討一下公務員行測考試中不定方程(組)的解題思路。

　　不定方程(組)包含不定方程與不定方程組，而根據題目條件對未知數是否必須為整數的限制，可以將不定方程組分為限定性不定方程組和非限定性不定方程組。前者指未知數必須為正整數，后者則無此要求。兩種類型的不定方程組問題都有其固定的解題思路，方法性與技巧性比較強，掌握相應的思路去解題便會事半功倍。

　　不定方程

　　題型特征：根據題干可列出一個包含兩個未知數的方程

　　解題方法：首先分析奇偶、倍數、尾數等數字特性，然后嘗試代入排除

　　例1.【2015聯考】每年三月某單位都要組織員工去A、B兩地參加植樹活動，已知去A地每人往返車費20元，人均植樹5棵，去B地每人往返車費30元，人均植樹3棵，設到A地有員工x人，A、B兩地共植樹y棵，y與x之間滿足y=8x-15，若往返車費總和不超過3000元時，那么，最多可植樹多少棵?

　　A.498

　　B.400

　　C.489

　　D.500

　　【解題思路】已知植樹棵數 y=8x-15，一個方程兩個未知數為不定方程，8x為偶數，15為奇數，偶數-奇數=奇數，則y為奇數，排除A、B、D項，正確答案為C。

　　【點評】本題若采用常規解方程的方法也可解題，但耗費時間久，不適合考場使用。本題不需要算車費等其他數值，因此可利用數字特性直接鎖定答案。

　　不定方程組

　　1.限定性不定方程組

　　題型特征：可根據題意列出方程組，未知數多于方程數，且未知數必須為正整數，常用來表示人數、盒子或者其他物體的個數等

　　解題方法：先消元轉化為不定方程，再按不定方程求解

　　例1.【2017江蘇】小王打靶共用了10發子彈，全部命中，都在10環、8環和5環上，總成績為75環，則命中10環的子彈數是：

　　A.1 發 B.2 發

　　C.3 發 D.4 發

　　【解題思路】設命中10環、8環、5環的子彈數分別為正整數x、y、z。由子彈總數為10發，總環數為75環，可列不定方程組：

　　x+y+z=10……①;

　　10x+8y+5z=75……②;

　　求命中10環子彈數x，由②-①×5可得不定方程5x+3y=25。5x、25均為5倍數，3y也必然為5倍數，y只能為5，此時x=2,正確答案為B。

　　【點評】將不定方程組消元變為不定方程時，求誰保留誰，消掉另外兩個未知數中較好計算的一個。本題也可直接分析方程②，10x+8y+5z=75中，10x、5z、75均為5的倍數，則8y一定也是5的倍數，y=5、10、15…，加和不能超過 75，則 y=5，代入求解同樣可以鎖定B項。但該方法有局限性，如當z的系數為6時無法使用，需要根據具體題目具體分析。

　　例2.【2018四川下】某企業采購A類、B類和C類設備各若干臺，21臺設備共用48萬元。已知A、B、C類設備的單價分別為1.2萬元、2萬元和2.4萬元。問該企業最多可能采購了多少臺C類設備?

　　A. 16

　　B. 17

　　C. 18

　　D. 19

　　【解題思路】設該企業采購A類、B類和C類設備數量分別為A、B、C。已知“21臺設備共用48萬元”，則A+B+C=21……①，1.2A+2B+2.4C=48……②。聯立兩式，②×5-①×6可得：4B+6C=114，化簡得：2B+3C=57。由于設備購買數量一定是不為零的整數，根據倍數特性，57和3C均可以被3整除，則2B一定可以被3整除。若要C類設備最多即B最小，B最小為3，代入原式可得：C=17，A=1，符合題意。因此該企業最多可能采購了17臺C類設備，正確答案為B。

　　【點評】消元時也可消掉B，②-①×2可得：-0.8A+0.4C=6，約分得：-2A+C=15，即C-2A=15。2A為偶數，15為奇數，奇數-偶數=奇數，則C必須是奇數，排除A、C項。剩二代一，題干要求“最多”，因此從最大的選項開始代入，代入D項：19-2A=15，解得 A=2，B=0，由于設備購買數量一定是不為零的整數，故B≠0，排除D項。提示大家，正確答案有且僅有一個，排除掉三個錯誤答案后，剩下的一定為正確答案，無需再次驗證。

　　2.非限定性不定方程組

　　題型特征：可根據題意列出方程組，未知數多于方程數，且未知數不一定為正整數，常指物品的價格、工作的時間等，需要求解的是一組未知數的和。

　　解題方法：特值法(賦零)或配系數法

　　當未知數表示時間和錢，可以為小數，這樣的方程組有無數組解，有好多解都滿足方程，隨便找一組即可，而0最簡單，因此可以用賦零法。建議使用時讓最復雜的未知數為0，代入進行計算。而配系數法中系數是湊出來的，若考場上無法湊出來，則無法求解，因此建議用賦零法解題。

　　例1.【2016春季聯考】木匠加工2張桌子和4張凳子共需要10個小時，加工4張桌子和8張椅子需要22個小時。問如果他加工桌子、凳子和椅子各10張，共需要多少小時?

　　A. 47.5

　　B. 50

　　C. 52.5

　　D. 55

　　【解題思路】假設每張桌子、凳子、椅子的所需時間分別為a小時、b小時、c小時，則2a+4b=10、4a+8c=22，化簡得到a+2b=5①，a+2c=5.5②，①+②=2a+2b+2c=10.5，則10(a+b+c)=52.5，所需時間52.5小時，正確答案為C。

　　【點評】本題中未知數為時間，時間不一定是整數，且要求的量為一組數的和，若考生數字敏感性較差，無法通過配系數求解，也可用賦零法解題。賦值a=0，原方程組可轉化為4b=10，8c=22，4(b+c)=21,10(a+b+c)=52.5。

　　【例2】【2018上?！楷F有甲、乙、丙三種貨物，若購買甲1件、乙3件、 丙7件共需200元;若購買甲2件、乙5件、丙11件共需350元。則購買甲、乙、丙各1件共需多少元?

　　A. 50

　　B. 100

　　C. 150

　　D. 200

　　【解題思路】根據題干條件，假設甲、乙、丙的價格依次是x、y、z元，則根據題意可列方程組：x+3y+7z=200①，2x+5y+11z=350②。賦丙的價格為0，即z=0。原方程組轉化為x+3y=200;2x+5y=350，解得：x=50，y=50?？傻茫簒+y+z=50+50+0=100元,正確答案為B。

　　【點評】若采用配系數法，可將原方程組：x+3y+7z=200①，2x+5y+11z=350②，①×3得：3x+9y+21z=600③，②×2：4x+10y+22z=700④，④-③解得 x+y+z=100。配系數法不是每道題都適用，需要較強的數字敏感度，建議優先掌握賦零法。

　　掌握不定方程(組)的解法可有效提高和差倍比、經濟利潤、年齡問題等常考題型的解題速度與正確率，建議各位考生加強練習，熟練運用。

　　最后祝愿各位考生備考順利，成功上岸!